TEORIA DE JUEGOS

La teoría de juegos maneja situaciones de decisión en la que intervienen 2 jugadores inteligentes que tienen objetivos contrarios. Un ejemplo de esto es las estrategias belicas utilizadas en la guerra, las campañas publicitarias, etc.

En el juego intervienen 2 oponentes llamados "jugadores", y cada uno tiene un numero finito o infinito de alternativas o "Estrategias".

La teoría de juegos fue desarrollada antes de la guerra fría y se formalizo con los trabajos de John Von Neumann y Oskar Morgenstern.

Actualmente tiene muchos campos de aplicación como lo es: Biología, Sociología, Filosofía, Inteligencia Artificial y cibernetica.

Un juego se puede representar en una matriz donde cada elemento de esta corresponde a la recompensa que obtendrá el jugador Fila al utilizar la estrategia i si el jugador columna utiliza la estrategia j.

Lo anterior se muestra a continuación:

También en teoría de juegos existe el criterio de Minimax y Maximin.

Minimax:

El jugador fila, elige que su pago mínimo posible sea el mayor.

Maximin:

Criterio Minimax: el jugador B elige que el pago máximo a A sea el menor posible.

En particular estudiaremos los juegos de suma cero que se explican a continuación:

JUEGOS DE SUMA CERO

En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.

ESTRATEGIA DOMINANTE

Se dice que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a cualquier otra estrategia a disposición de el. Es posible que cada uno de los dos jugadores tenga estrategia dominante.

ESTRATEGIA MIXTA

Es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.

PUNTO SILLA

También conocido como punto de ensilladura, es un punto donde la recompensa que obtiene el jugador Renglón es igual a la del jugador columna.

Ejemplos:

Supongamos que 2 jugadores juegan en cierto juego. Del juego se sabe que tienen la siguiente matriz premio:

Ahora se debe definir con que frecuencia el jugador Renglón y el jugador Columna usan sus estrategias. Para resolver este problema se puede usar el método grafico y el método algebraico. Aunque el método algebraico cuando hay mas de 2 alternativas se vuelve tedioso por lo que se utilizara el método simplex.

Método Algebraico:

Ahora se introducira el concepto de valor esperado de una estrategia cuando los jugadores utilizan una estrategia determinada.

La finalidad es buscar aquella estrategia que me de el mayor valor esperado. Gráficamente seria la intersección de las curvas de valor esperado de E1 y E2.

Ahora se hace igualmente para la estrategia 2 del jugador renglón.

Graficando lo anterior obtenemos:

Por lo que se obtiene que el valor Esperado que maximiza el juego para el jugador renglon es: 0.5 con probabilidades de utilizar cada estrategia de 0.5